この内容は，私たちの論文¹⁾を分かり易く説明したものです。

　これまで，SHAKEの減衰では，SHAKEで使われている複素剛性法，Lysmerの提案とその問題点と2回にわけて複素剛性の説明をしました。その結果，次の様なことがわかりました。

1)SHAKE²⁾ではSorokinモデルという複素剛性が用いられてます。このモデルでは，データとして入力した減衰定数は正しく計算されていますが，最大せん断応力は\(\sqrt{1+4h^2}\)大きく評価している。
2)Lysmerの提案³⁾
した複素剛性は1自由度系の振動理論に基づいているが，1自由度系の変位を同じとして設定したもので，そもそも比較の対象がおかしいし，余り合理的なものではない
3) Lysmerの複素剛性を地盤に適用すると，最大せん断応力は実験値と同じだが，減衰定数は小さく評価されている

1. YASモデルの提案

　実験と解析の履歴曲線を比較すると図1の様になります。先に示したように，オリジナルのSHAKEのモデル（Sorokinモデル）では楕円の面積は実験の履歴曲線と同じですが，最大応力が実験とは異なります。そこで，図の赤のモデルのように，最大せん断応力は実験値と同じになるようにして，さらに楕円の面積も実験と合わそうというものです。

まず，減衰定数を実験値と合わせるモデルを考えます。SHAKEの減衰の式(14)で示したように，履歴吸収エネルギー\(\Delta W\)は複素剛性の虚数部のみに依存します。そこで，複素剛性の実部を\(G_r\)とすると，複素剛性は次の様になります。

\(\hspace{20mm}\)\(\overline{G}_Y^*=G_r+2ihG \)(1)

図1に見られるように，線形部の剛性はGより小さいので，これを\(G_r\)と表しているわけです。

これまでと同様ひずみを次の様に与えます。

\(\hspace{20mm}\)\(\overline{\gamma}=\gamma e^{i\omega t} \)(2)

すると，応力－ひずみ関係は次の様になります。

\(\hspace{20mm}\)\(\overline{\tau}=G_Y^*\overline{\gamma}=(G_r+2iGh)\gamma_0e^{i\omega t}\)(3)

この実部から応力－ひずみ関係は次のように求められます。

\(\hspace{20mm}\)\(\tau=\mathrm{Re}{(\overline{\tau})}=\gamma_0(G_r\cos{\omega t}-2Gh\sin{\omega t})=\gamma_0\sqrt{G_r^2+4G^2h^2}\cos{(\omega t+\phi)} \)

\(\hspace{20mm}\)\(\tan{\phi}=2Gh/G_r \)(4)

\(\hspace{20mm}\)\(G_r=\sqrt{1-4h^2} \)(5)

すなわち，YASモデルの複素剛性は最終的に次の式になります。

\(\hspace{20mm}\)\(\overline{G}_Y^*=G(\sqrt{1-4h^2}+2ih)\)(6)

これより，応力－ひずみ関係を求めると，次の様になります。

\(\hspace{20mm}\)\(\tau=G\gamma_0(\sqrt{1-4h^2}\cos{\omega t}+2h\sin{\omega t})=G\gamma_0\cos{(\omega t+\phi)}\)
\(\hspace{20mm}\)\(\tan{\phi}=\cfrac{2h}{\sqrt{1-4h^2}}\)(7)

2. 他のモデルとの比較

これまで，三つの複素剛性を紹介してきました。

\(\hspace{20mm}\)Sorokinモデル：\(G^*=G(1+2ih)\)　（オリジナルのSHAKEのモデル）

\(\hspace{20mm}\)Lysmerモデル：\(G^*=G(1-2\beta^2+2i\beta\sqrt{1-\beta^2})\)　（Lysmerさんの修正モデル）

\(\hspace{20mm}\)YASモデル：\(\overline{G}_Y^*=G(\sqrt{1-4h^2}+2ih)\)　（今回提案したモデル）

ここで，Lysmerモデルでは\(\beta\)を用い，他のモデルでは\(h\)を使っていることに注意してください。Lysmerモデル以外では\(h=\beta\)ですのでどちらで書いてもよいのですが，実験が減衰定数\(h\)で与えられているので，そちらを用いています。しかし，Lysmerモデルでは\(\beta\)と\(h\)は異なりますので，その違いを明確にするために，\(\beta\)を用いています。

Lysmerモデルでは\(\beta\)と\(h\)が異なり，その関係が

\(\hspace{20mm}\)\(h=\beta\sqrt{1-\beta^2} \)(8)

で表されることは前に示しました。これより\(\beta\)を求め，Lysmerモデルの\(\beta\)に代入すると，YASモデルと同じ式が得られます。つまり，Lysmerさんは\(\beta=h\)と思い込んでおられたのが間違いで，\(\beta\)より\(h\)を求めていれば，我々と同じ式が得られていたのです。

減衰パラメータ\(\beta\)を0.1，0.2，0.3としたときの履歴曲線を比較して図3に示します。Lysmerモデルでは\(\beta\)に対応する\(h\)の値も示されていますが，両者の差は\(\beta=0.3\)で5%弱です。

図4には複素剛性の実部と虚部を減衰定数（減衰パラメータ）との関係で示します。Sorokinモデルでは実部は直線（一定値），虚部も直線です。一方，YASモデルは減衰はSorokinモデルと同じ（従って，履歴吸収エネルギーはSorokinモデルと同じ）ですが，実部は\(\beta\)と共に小さくなります。これは，線形部の傾きが小さくなっていることを示しています。複素剛性を用いた履歴曲線は楕円形ですが，その最上部が最大せん断応力でこれを実験値と合わせているので，図1にも見られたように線形部の剛性は小さくならざるを得ません。この点は，Lysmerモデルも同じです。しかし，虚部も曲線でSorokinモデル（YASモデル）より小さくなっていますので，履歴吸収エネルギーが小さく評価されるわけです。ただし，誤差は実材料のほぼ最大値である，\(h=30%\)で約5%ですから実務的には悪くないかもしれません。しかし，それなら，理論的に明快な，YASモデルを使う方が良いと思います。

1)吉田望，安達健司：地盤の地震応答解析のための複素剛性法，日本地震学会論文集（印刷待ち）
2)Schnabel, P. B., Lysmer, J. and Seed, H. B. (1972): SHAKE A Computer program for earthquake response analysis of horizontally layered sites, Report No. EERC72-12, University of California, Berkeley
3) Lysmer, J.: Modal damping and complex stiffness, University of California Lecture note, University of California, Berkeley, 1973.